怎么开平方和开立方,手算开平方的方法

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导读

手算开平方（求平方根）是数学中一种基础且有用的技能。以计算√1521为例：

1. 将数字从右向左每两位分组（如15 21）
2. 找第一个完全平方数小于15，取3（3²=9）
3. 将3作为商的首位，4.2乘以3=12，从15中减去12得3，拉下21变为321
4. 乘以18（3×2），试求另一个数位使18.×××不超过321，确定为1（181×1=181）
5. 得到完整结果39，验证39²=1521

手算开立方（求立方根）更复杂，以计算³√1728为例：

1. 从最左边数字开始分组（如1 728），取1，立方为1（1³=1）或2（2³=8）
2. 拉下下一组数字728，进行计算：1的三次操作是记作1×6，商取出后，确定这个数位为9（因为9³=729）
3. 使用递推公式n₂ = n₁ + 2 + k，其中k为当前数字，经计算可得第三位数为0，最终结果为12
4. 验证12³=1728的正确性

开平方和开立方在位数多时非常耗时，故可通过递增精度的近似方法简化。以√3为例：

1. 来两次平方找到近似值，如1.7²=2.89，1.8²=3.24，得出1.7+（0.1×（0.13））≈1.731
2. 用数值迭代法（如牛顿迭代法）对结果进行优化，也能快速得到精确数值

新式计算器能高效求出根值。以Windows系统为例：

1. 打开计算器，切换到科学模式
2. 输入数20，按下√得到4.472（如需立方根，需用x的y次方功能，先输入4，再输入y，输入3，点击=即可）

开平方公式与开立方公式存在一定关联：开平方本质是寻找一个平方等于原数的数，公式常写作√x=x^{1/2}；开立方则是在寻找一个立方为原数的数，公式为³√x=x^{1/3}。当然，也可通过变换将这两个操作统一到n次方根根的求解中。

即便没有计算器，也可手动计算根值。例如，要找到√50：

1. 平方介于49和64之间的数是7，所以√50可能在7和8之间
2. 因此√50≈3、70（取7的十位并搭配小数位），上方步骤说明的精度方法或数值迭代法均适用

同样，即使无计算器，也可手动计算立方根。例如，求³√13：

1. 体积介于8（2³）与27（3³）之间，故根值在2与3之间
2. 检查2.5³=15.625>13，可知根值在2与2.5之间
3. 可使用折中法选择2.3，或通过其他迭代方法提升精度