低通滤波器带宽计算公式,有源低通滤波器带宽计算公式

题图来自Unsplash，基于CC0协议

导读

低通滤波器带宽定义及计算公式

低通滤波器是一种允许低于某一特定频率的信号通过，而衰减或阻止高于该频率信号的电路。在讨论低通滤波器的特性时，带宽是一个核心参数。理解带宽的定义及其计算方法对于滤波器的设计、选择和应用至关重要。

一、带宽的基本定义

带宽 (Bandwidth)，通常用符号 BW 表示，是衡量低通滤波器让信号通过的能力范围。具体来说，指滤波器的通带频率上限和通带频率下限之间的差值。对于理想情况下，在中心频率 fc 两侧各下降 3 dB (对于功率下降 3dB 或幅度下降 -3dB) 的频率点之间的频率差，即：

BW = f2 - f1

其中，f2 是滤波器-3dB截止频率（即功率减半，或幅度降至原始值约 70.7% 的频率），而 f1 是通带的低端频率，对于简单的低通滤波器，在通带下限截止频率低于 f2 许多或者忽略不计时，通常认为通带上限截止频率即为带宽的单侧截止点。对于具有对称通带的滤波器（虽然很多不是），带宽通常定义为：

BW = f_c_down - f_c_up

其中 f_c_down 和 f_c_up 分别是滤波器下限-3dB截止频率和上限-3dB截止频率，但这主要适用于带阻滤波器。

对于典型的低通滤波器，主要关注其上截止频率 f_c，滤波器的带宽通常指的是从0Hz（或直流）附近的功能性通带到截止频率f_c 的频率范围，并且由于低端提升频率通常远低于 f_c，因此带宽近似等于 BW ≈ f_c。

二、截止频率与幅度响应

滤波器的带宽直接与它的截止频率有关。截止频率 f_c 是滤波器性能转变的关键点，通常定义为滤波器输出幅度相对于直流增益下降 3dB 的频率点，或者功率响应下降 3dB 的频率点。

对于理想的低通滤波器，其幅度响应 |H(f)| 随频率增加而减小。在 f = 0 处，假设 |H(0)| = 1 (或 0dB)。则 f_c 定义为 |H(f_c)| = H(0)/√2 (如果 H(0) 是振幅响应) 或 |H(f_c)|² = H(0)² / 2（功率响应，适用于归一化功率的情况），即频率特性曲线下降到比最大值低 3dB 处的频率点。

对于包含多级滤波器，带宽也可以定义为频率范围，在该范围内，滤波器增益的波动或下降不超过某个阈值（如3dB）。

三、RC低通滤波器截止频率与带宽关系

RC低通滤波器是最基础的元件构成电路，由一个电阻 R 和一个电容 C 频率构成。

对于理想化的、带有大电阻的 RC 电路（如图1），其频率响应幅度下降为：

|H(f)| = 1 / √(1 + (2πfRC)²)

其中，截止频率 f_c 定义为 |H(f_c)| = 1/√2，这直接导致了：

f_c = 1 / (2πRC)

将 f_c 代入 |H(f_c)| 的表达式，得到：

|H(f_c)| = 1 / √(1 + 1) = 1/√2

同时，在频率 f 处，相对于 f_c 有关系，其中时间常数 τ = RC。所以说，对于一阶 RC 系统：

BW(BW 为单边带宽) ≈ f_c （因为通带下限通常远低于 f_c）

或者更精确地，根据幅度响应：

幅度为 0.707 倍增益对应频率 = f_c

时间常数 τ 和截止频率 f_c 的关系是：τ = RC = 1/(2πf_c)

四、有源低通滤波器带宽计算公式

有源滤波器（通常使用运算放大器作为基础构建块，并包含额外的电阻和电容）通常具有更陡峭的滚降特性，或者可以实现比无源滤波器更陡峭的过渡。其带宽同样由其截止频率决定。

截止频率的计算取决于滤波器的拓扑结构和其组成元件值：

• 对于一阶有源低通滤波器（如简单RC反相放大器或非反相放大器），计算方法与无源 RC 电路相同： f_c = 1 / (2πRC)

  BW ≈ f_c

• 对于二阶或更高阶有源低通滤波器，如 Sallen-Key 构型： 截止频率由元件值决定，并且需要考虑滤波器的阶数。

  例如，标准的二阶低通滤波器（如 Sallen-Key）的截止频率 f_c 可以通过解方程得到，具体形式取决于反馈网络。例如，一个简单的对称 RC 网络的二阶 Sallen-Key 低通滤波器：

  *tan(θ) = (R1 // C + R2 // C)/(R1R2C²) / [R1R2/(R1 + R2) + R_avg C²] (简化查表)**

  这是简化形式，精确计算通常依赖于特定拓扑的公式。如果已知元件值，通常计算其 DC 增益和 Q 值等方式来确定 f_c。

通用计算思路： 无论何种阶数和类型，低通滤波器的带宽仍然定义为其-3dB截止频率附近或定义频带，其宽度即为带宽。要计算 BW：

1. 确定滤波器的截止频率 f_c。
2. 确认滤波器的工作通带下限（通常是0Hz或某个最低频率）。
3. 计算 BW = f_max_allowed - f_min_allowed，但根据定义，对于标准单向低通，主要关注从0到f_c的范围，所以 BW ≈ f_c - 0。对于多级滤波器，BW 由其-3dB点的确切定义来决定。高阶滤波器在高于 f_c 的频率，幅度会更快地衰减。

五、巴特沃斯低通滤波器带宽计算

巴特沃斯滤波器是一种广泛使用的滤波器类型，它在通带内提供最大平坦的幅度响应（在直流处二阶及以上平坦）。其带宽同样由其-3dB截止频率决定。

巴特沃斯滤波器的截止频率 f_c 定义与其它滤波器相似，为功率响应-3dB处或幅度响应-3dB处的频率。但是，巴特沃斯滤波器的特点是在大于 f_c 的频率范围内具有最大平坦的衰减率（单调下降），并且其阶数 n 决定了滚降速率：

幅度在 f_c 以外每倍频带内的衰减斜率约为 20n (dB/decade)，或 14.97n (dB/octave)。

对于巴特沃斯滤波器，带宽的计算原理与前述相同：BW = f{c,upper} - f{c,lower} 对于带域情况，但对于标准的低通巴特沃斯滤波器，BW ∝ f_c。

如何计算巴特沃斯滤波器的 f_c？

巴特沃斯滤波器的设计通常从所需带宽（或截止频率）和阶数开始。其元件值（电阻和电容值）通常按照以下方式确定：

若已知所需截止频率 f_c，则所有极点都在左半平面特定位置，单位阶数的巴特沃斯滤波器其“截止频率”特性（幅度为 0.707 倍额定值）等效于单位增益情况下的计算比例调整。对于更高阶的巴特沃斯滤波器，其 f_c 仍然是定义-3dB点的频率，元件比例调整通常会使得截止频率按标称值工作。

补充说明：

• 在一阶系统（RC、1阶Sallen-Key等）中，带宽 (BW) 与时间常数(τ = RC)的关系是： BW ≈ 1 / (2πτ)

• 如果一个滤波器被驱动的斜坡波形具有时间常数 τ，则其上升/斜率变化边沿频率约为 f = 0.159/τ Hertz (周期单位：秒，频率单位：Hz)。但对于滤波器带宽而言，其定义是频率范围，在某一频率处幅度下降 3dB。对于脉冲波形或阶跃波形，则关注其延迟 (τ) 或上升时间 (1/BW 或 0.35/BW，取决于速度定义)，与截止频率 f_c 直接相关。 对于带宽为 BW 的滤波器，其 -3dB 点位于 BW 频率点（对于单边带宽，即 BW ≈ f_c，则 f_c 就是那个频率点）。

总之，低通滤波器的带宽是衡量其允许信号频率范围的关键参数。其核心是截止频率 f_c，并通常定义为 f_c 的某个倍数或范围差值。计算方法依赖于滤波器类型（如 RC 无源、有源电路、巴特沃斯等）和其元件值。理解了截止频率以及它与频率响应和时间常数的关系，就能够计算出滤波器的带宽参数，从而在设计和应用中选择合适的滤波器。